VECTORES

¿Qué es un vector?

Un Vector es un segmento de recta orientado que posee una dirección, un sentido y una longitud o módulo.

 

Supongamos que hay que empujar una caja por el suelo, como muestra la figura: para ello aplicamos una fuerza sobre la caja.

Podemos representar  la fuerza mediante una flecha donde la longitud de la misma, a una cierta escala elegida, nos indica el valor de la fuerza, y el sentido en que apunta la flecha muestra el sentido de la fuerza.

La fuerza, al igual que la velocidad y el desplazamiento, pueden ser representados geométricamente mediante un segmento de recta llamada Vector.

Notación de un Vector

Los vectores se representan mediante dos letras mayúsculas que denotan el origen y el extremo de un vector, los cuales tienen superpuesta una flecha.

También se pueden señalar con una letra minúscula acompañada de una flecha en la parte superior.

 

Elementos  de Un vector

Cada vector se determina por los siguientes elementos:

Origen: También denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

Magnitud o módulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.

El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Magnitudes Escalares y Magnitudes Vectoriales

     Denominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes: masa, temperatura, presión, densidad.

     Por su parte, las Magnitudes Vectoriales son aquellas que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.

Ejemplo: Para referirnos a la estatura de una persona basta con escribir: 1,71 m. En cambio para hablar del recorrido de un vehiculo que viaja con un cierto destino es necesario escribir: 120 km hacia el Este.

El primer dato: 1,71 m es una magnitud escalar. Observemos que se le puede escribir a partir solo de un numero acompañado de la unidad.

El segundo dato: 120 km hacia el Este es una magnitud vectorial. Recordemos que los vectores poseen magnitud, dirección y sentido.

Operaciones con Vectores

Suma de vectores

Sean los vectores U (3,8) y V (7,-3).

Las componentes del vector suma de estos dos vectores serán iguales a la suma de las componentes respectivas de los vectores.

U (3,8) + V (7,-3)

U+B =  (3+7,8-3)

U+B =  (10,5)

Diferencia de vectores

Sean los vectores U (2,4) y V (5,3)

Obtenemos el vector diferencia sumando al vector minuendo el opuesto del vector sustraendo.

U (2,4) + (-V) (-5,-3)

U-B = (2-5, 4-3)

U-B =  (-3,1)

Producto de un vector por un número real

El producto de un vector v por un número real h es otro vector h · v, que cumple las siguientes condiciones:

·    Tiene la misma dirección que v.

·    Si h es mayor que 0 tiene el mismo sentido que v.

·    Si h es menor que 0 tiene sentido opuesto

·    El modulo es: h · v = h · v

Producto escalar de dos vectores

Vamos a definir una operación llamada producto escalar, cuyo resultado, a diferencia de las anteriores, no es un vector.

El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman los dos vectores.

u · v = u · v cos (u, v)